Calcular as integrais : integral 5 x^2-116 x^2+24 x+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de uma fração racional: integral 5 x^2-116 x^2+24 x+9 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: 16 x^2+24 x+9. Esse trinômio parece um quadrado perfeito. Vamos verificar:
16 x^2 + 24 x + 9 = (4x + 3)^2
Então, podemos reescrever a integral como:
integral 5 x^2-1(4x + 3)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 4x + 3
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 4 Rightarrow dx = du4

Passo 4

Precisamos também expressar x em termos de u para substituir na integral. De u = 4x + 3, temos:
x = u - 34
E ao elevar ao quadrado:
x^2 = (u - 34)^2 = (u - 3)^216

Passo 5

Substituindo x e dx na integral original:
integral 5x^2 - 1(4x + 3)^2 , dx = integral 5((u - 3)^216) - 1u^2 cdot du4
Simplificando os coeficientes:
= 164 integral 5(u - 3)^2 - 16u^2 , du

Passo 6

Expandindo o numerador:
5(u - 3)^2 - 16 = 5(u^2 - 6u + 9) - 16 = 5u^2 - 30u + 45 - 16 = 5u^2 - 30u + 29
Então, a integral fica:
164 integral 5u^2 - 30u + 29u^2 , du

Passo 7

Dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
5u^2 - 30u + 29u^2 = 5 - 30u + 29u^2
Portanto, a integral se torna:
164 integral (5 - 30u + 29u^2) , du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
164 (5u - 30 ln|u| - 29u) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
5u - 30 ln|u| - dfrac29u64 + C
Substituindo u = 4x + 3, temos:
5(4x + 3) - 30 ln|4x + 3| - dfrac294x + 364 + C

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