Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de uma fração racional: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: . Esse trinômio parece um quadrado perfeito. Vamos verificar:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Precisamos também expressar em termos de para substituir na integral. De , temos:
E ao elevar ao quadrado:

Passo 5

Substituindo e na integral original:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Expandindo o numerador:
Então, a integral fica:

Passo 7

Dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Portanto, a integral se torna:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
Substituindo , temos:

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Calcule as integrais abaixo: Dica: e são raízes de
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