Calcule as integrais abaixo: integral 2 x^5+5 x^3+3 x^2-5 x+3x^4-1 d x Dica: x=-1 e x=1 são raízes de x^4-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma fração onde o numerador é um polinômio de quinto grau e o denominador é um polinômio de quarto grau:
integral 2 x^5 + 5 x^3 + 3 x^2 - 5 x + 3x^4 - 1 , dx
O conteúdo da matéria envolve cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. O numerador é de grau 5 e o denominador de grau 4. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir 2x^5 + 5x^3 + 3x^2 - 5x + 3 = 2x cdot (x^4 - 1) + 2x + 5x^3 + 3x^2 - 5x + 3 por 2x + 2x + 5x^3 + 3x^2 - 5x + 3x^4 - 1 .
Ao realizar a divisão, obtemos:
Simplificando, a divisão nos dá:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o resto da divisão. Observando o numerador 5x^3 + 3x^2 - 3x + 3 , reorganizamos os termos:
integral (2x + 5x^3 + 3x^2 - 3x + 3x^4 - 1) dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) . Sabemos que:
5x^3 + 3x^2 - 3x + 3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
5x^3 + 3x^2 - 3x + 3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + Dx^2 + 1
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para encontrar os coeficientes , , e .

Passo 7

Resolvendo para os coeficientes:
  1. Para 5(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) + 3 = A(1 + 1)(1^2 + 1) Rightarrow 5 + 3 - 3 + 3 = A cdot 2 cdot 2 Rightarrow 8 = 4A Rightarrow A = 2 :
5(-1)^3 + 3(-1)^2 - 3(-1) + 3 = B(-1 - 1)( (-1)^2 + 1) Rightarrow -5 + 3 + 3 + 3 = B cdot (-2) cdot 2 Rightarrow 4 = -4B Rightarrow B = -1
  1. Para 5x^3 + 3x^2 - 3x + 3 = 2(x + 1)(x^2 + 1) -1(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x - 1)(x + 1) :
C = 3 e D = 0
  1. Para encontrar e , podemos expandir e comparar coeficientes:
Após simplificar e comparar, encontramos:

Passo 8

Agora que temos os valores de integral (2x + 2x - 1 - 1x + 1 + 3xx^2 + 1) dx , , e , podemos reescrever a integral:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Juntando todas as integrais, temos:
x^2 + 2 ln|x - 1| - ln|x + 1| + 32 ln|x^2 + 1| + C
onde é a constante de integração.

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