Calcule as integrais abaixo:
Dica:
e
são raízes de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma fração onde o numerador é um polinômio de quinto grau e o denominador é um polinômio de quarto grau:
O conteúdo da matéria envolve cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. O numerador é de grau 5 e o denominador de grau 4. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
Ao realizar a divisão, obtemos:
Simplificando, a divisão nos dá:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o resto da divisão. Observando o numerador
, reorganizamos os termos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
. Sabemos que:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para encontrar os coeficientes
,
,
e
.
Passo 7
Resolvendo para os coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para encontrar
e , podemos expandir e comparar coeficientes:
Após simplificar e comparar, encontramos:
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
,
e
, podemos reescrever a integral:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando todas as integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
e
. Determine
.
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é o quadrilátero delimitado pelos pontos
Calcular as integrais :
Considere a região
delimitada pelas curvas
e
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de