Calcule as integrais abaixo: Dica: e são raízes de

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma fração onde o numerador é um polinômio de quinto grau e o denominador é um polinômio de quarto grau:
O conteúdo da matéria envolve cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. O numerador é de grau 5 e o denominador de grau 4. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir por .
Ao realizar a divisão, obtemos:
Simplificando, a divisão nos dá:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o resto da divisão. Observando o numerador , reorganizamos os termos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador . Sabemos que:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para encontrar os coeficientes , , e .

Passo 7

Resolvendo para os coeficientes:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para encontrar e , podemos expandir e comparar coeficientes:
Após simplificar e comparar, encontramos:

Passo 8

Agora que temos os valores de , , e , podemos reescrever a integral:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Juntando todas as integrais, temos:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Seja uma função tal que e . Determine .
Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é o quadrilátero delimitado pelos pontos
Calcular as integrais :
Considere a região delimitada pelas curvas e .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .