Seja y = f(x) uma função tal que d y/d x = e^(4 x) cos(2 x) e f(0) = -3. Determine f(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função cuja derivada em relação a é . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo é encontrar a função .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivada. Vamos integrar para encontrar .

Passo 2

Sabemos que a derivada de é . Para encontrar , precisamos calcular a integral de em relação a :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição .

Passo 3

Para resolver a integral , podemos usar uma fórmula padrão de integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, temos a expressão para :
Precisamos descobrir o valor de usando a condição inicial . Vamos substituir na expressão:

Passo 5

Finalmente, substituímos o valor de na expressão de :

Resposta

A função é dada por:

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