Seja
uma função tal que
e
. Determine
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
cuja derivada em relação a
é
. Além disso, sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar a função
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivada. Vamos integrar
para encontrar
.
Passo 2
Sabemos que a derivada de
é
. Para encontrar
, precisamos calcular a integral de
em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição
.
Passo 3
Para resolver a integral
, podemos usar uma fórmula padrão de integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas:
No nosso caso,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, temos a expressão para
:
Precisamos descobrir o valor de
usando a condição inicial
. Vamos substituir
na expressão:
Passo 5
Finalmente, substituímos o valor de
na expressão de
:
Resposta
A função
é dada por:
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Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é o quadrilátero delimitado pelos pontos
Calcular as integrais :
Calcule as integrais abaixo:
Dica:
e
são raízes de
Calcular as integrais :