Calcular as integrais : integral 5 x^2+3 x-650x^2-81 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional: . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de divisão polinomial e integração de frações parciais.

Passo 2

Como o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ), a primeira coisa que fazemos é dividir os polinômios para simplificar a fração. Isso ajuda a tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos dividir 5x^2 + 3x - 650x^2 - 81 = 5 + 3x - 245x^2 - 81 por :
Aqui, é o quociente da divisão, e o resto é .

Passo 4

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
integral 5x^2 + 3x - 650x^2 - 81 , dx = integral 5 , dx + integral 3x - 245x^2 - 81 , dx
A primeira integral é simples, e a segunda requer mais passos para ser resolvida.

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral 5 , dx = 5x

Passo 6

Para a segunda integral integral 3xx^2 - 81 , dx - integral 245x^2 - 81 , dx , vamos separá-la em duas partes:

Passo 7

Primeiro, resolvemos integral 3xx^2 - 81 , dx = 32 integral duu = 32 ln|u| + C = 32 ln|x^2 - 81| + C usando substituição. Seja , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos 245x^2 - 81 = Ax - 9 + Bx + 9 usando frações parciais. Sabemos que 245 = A(x + 9) + B(x - 9) , então escrevemos:
245 = A(18) Rightarrow A = 24518
Resolvendo para 245 = B(-18) Rightarrow B = -24518 e integral 245x^2 - 81 , dx = 24518 ln|x - 9| - 24518 ln|x + 9| + C :
Escolhemos valores específicos para para simplificar:
  • Se :
  • Se :
Então, a integral fica:

Passo 9

Juntando todas as partes, a integral completa é:
5x + 32 ln|x^2 - 81| - 24518 ln|x - 9| + 24518 ln|x + 9| + C

Resposta

5x + 32 ln|x^2 - 81| - 24518 ln|x - 9| + 24518 ln|x + 9| + C

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