Calcular as integrais : integral 2 x arctg x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso está na área de cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Vamos precisar entender como escolher as partes certas para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será na nossa integral . Uma boa escolha é deixar porque sua derivada é simples, e .

Passo 3

A seguir, vamos derivar du = 11 + x^2 , dx e integrar v = integral 2x , dx = x^2 :
Então, temos , , e .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral 2x arctan(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= arctan(x) cdot x^2 - integral x^2 cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral que restou:
integral x^21 + x^2 , dx
Podemos dividir x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2 por integral x^21 + x^2 , dx = integral (1 - 11 + x^2) , dx = integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx :
= x - arctan(x) + C
Então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral 2x arctan(x) , dx = x^2 arctan(x) - ( x - arctan(x) ) + C
Vamos simplificar:
= x^2 arctan(x) - x + arctan(x) + C
= (x^2 + 1) arctan(x) - x + C

Resposta

A integral (x^2 + 1) arctan(x) - x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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