Calcular as integrais : integral(3 x-2) e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(3 x-2) e^4 x d x. Esse tipo de integral envolve funções polinomiais multiplicadas por exponenciais. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, vamos identificar partes da nossa integral para u e dv.

Passo 2

Primeiro, escolhemos o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivada e dv como a parte que é fácil de integrar. No nosso caso:
u = 3x - 2 e dv = e^4x dx
Agora, precisamos encontrar du e v. Vamos derivar u e integrar dv:
du = ddx(3x - 2) dx = 3 dx
v = integral e^4x dx = 14 e^4x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo pelos valores que encontramos:
integral (3x - 2) e^4x dx = (3x - 2) cdot 14 e^4x - integral 14 e^4x cdot 3 dx
Simplificando:
= 3x - 24 e^4x - 34 integral e^4x dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral que sobrou:
integral e^4x dx = 14 e^4x + C
Onde C é a constante de integração. Substituindo de volta:
3x - 24 e^4x - 34 cdot 14 e^4x + C
Simplificando os coeficientes:
= 3x - 24 e^4x - 316 e^4x + C

Passo 5

Podemos fatorar e^4x para deixar a expressão mais limpa:
= ( 3x - 24 - 316 ) e^4x + C
Unificando os termos dentro dos parênteses:
= ( 12x - 8 - 316 ) e^4x + C
= 12x - 1116 e^4x + C

Resposta

A integral é igual a 12x - 1116 e^4x + C, onde C é a constante de integração.

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