Calcule os limites a seguir, justificando.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0. A função é . Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Sabemos que um limite importante envolvendo a seno é:
Esse é um resultado fundamental em cálculo e nos ajuda a simplificar expressões que envolvem seno.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do seno é e não apenas . Vamos ajustar a nossa expressão para encaixar nessa fórmula conhecida. Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:
Aqui, separamos a fração em duas partes para facilitar.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
Isso porque usamos a fórmula fundamental mencionada no Passo 2, apenas substituímos por . A outra parte é:
Os se cancelam e ficamos apenas com a fração.

Passo 5

Multiplicando os dois limites que calculamos:
Portanto, o limite da função quando se aproxima de 0 é .

Resposta

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