Calcule os limites a seguir, justificando.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 0. A função é . Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Sabemos que um limite importante envolvendo a seno é:
Esse é um resultado fundamental em cálculo e nos ajuda a simplificar expressões que envolvem seno.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do seno é
e não apenas
. Vamos ajustar a nossa expressão para encaixar nessa fórmula conhecida. Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:
Aqui, separamos a fração em duas partes para facilitar.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
Isso porque usamos a fórmula fundamental mencionada no Passo 2, apenas substituímos
por
. A outra parte é:
Os
se cancelam e ficamos apenas com a fração.
Passo 5
Multiplicando os dois limites que calculamos:
Portanto, o limite da função quando
se aproxima de 0 é
.
Resposta
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