Calcular as integrais : integral e^3 x raiz1-e^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse tipo de integral está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Vamos chamar . Isso porque pode ser escrita como .

Passo 3

Agora, precisamos expressar dtdx = 3 e^3x = 3t Rightarrow dx = dt3t em termos de . Derivando ambos os lados de em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir integral e^3x raiz1 - e^6x , dx = integral t cdot raiz1 - t^2 cdot dt3t por e por na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão, os 13 integral raiz1 - t^2 , dt se cancelam:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral t2 raiz1 - t^2 + 12 arcsin(t) + C . Essa é uma integral padrão que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa substituição inicial 13 ( e^3x2 raiz1 - e^6x + 12 arcsin(e^3x) ) + C , substituímos de volta na expressão:

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
e^3x6 raiz1 - e^6x + 16 arcsin(e^3x) + C

Resposta

A integral e^3x6 raiz1 - e^6x + 16 arcsin(e^3x) + C é igual a:

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