Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é o quadrilátero delimitado pelos pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a imagem do conjunto
sob uma transformação específica. O conjunto
é um quadrilátero formado pelos pontos
,
,
e
. A transformação dada é:
Vamos precisar entender como essa transformação afeta cada ponto do quadrilátero. Para isso, vamos aplicar a transformação a cada vértice de
e encontrar a nova posição desses pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos do quadrilátero
:
Agora, vamos aplicar a transformação
e
a cada um desses pontos. Para isso, precisamos expressar
e
em termos de
e
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
:
Podemos resolver a equação (2) para
:
Substituindo
na equação (1):
Agora, substituindo
de volta na equação para
:
Passo 4
Agora que temos
e
em termos de
e
, podemos aplicar isso a cada ponto do quadrilátero
para encontrar sua imagem.
Vamos calcular
e
para cada ponto:
- Ponto A(0,0):
Então, a imagem de
é
.
- Ponto B(6,-2):
Então, a imagem de
é
.
- Ponto C(6,3):
Então, a imagem de
é
.
- Ponto D(12,1):
Então, a imagem de
é
.
Resposta
A imagem do conjunto
sob a transformação dada é o quadrilátero delimitado pelos pontos
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais :
Mostre que
Seja
uma função tal que
e
. Determine
.
Calcule as integrais abaixo:
Dica:
e
são raízes de