Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é o quadrilátero delimitado pelos pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a imagem do conjunto sob uma transformação específica. O conjunto é um quadrilátero formado pelos pontos , , e . A transformação dada é:
Vamos precisar entender como essa transformação afeta cada ponto do quadrilátero. Para isso, vamos aplicar a transformação a cada vértice de e encontrar a nova posição desses pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos do quadrilátero :
Agora, vamos aplicar a transformação e a cada um desses pontos. Para isso, precisamos expressar e em termos de e .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e :
Podemos resolver a equação (2) para :
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo de volta na equação para :

Passo 4

Agora que temos e em termos de e , podemos aplicar isso a cada ponto do quadrilátero para encontrar sua imagem.
Vamos calcular e para cada ponto:
  1. Ponto A(0,0):
Então, a imagem de é .
  1. Ponto B(6,-2):
Então, a imagem de é .
  1. Ponto C(6,3):
Então, a imagem de é .
  1. Ponto D(12,1):
Então, a imagem de é .

Resposta

A imagem do conjunto sob a transformação dada é o quadrilátero delimitado pelos pontos , , e .

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Calcular as integrais :
Mostre que
Seja uma função tal que e . Determine .
Calcule as integrais abaixo: Dica: e são raízes de