Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a elipse dada por
, onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a imagem do conjunto
sob uma transformação dada. O conjunto
é uma elipse definida por
, e a transformação que vamos aplicar é
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações geométricas e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a transformação
e
. Basicamente, estamos redefinindo as coordenadas
e
em termos de novas variáveis
e
, escalando-as pelos fatores
e
respectivamente.
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões de
e
na equação da elipse. Então, temos:
Passo 4
Simplificando as frações dentro dos parênteses:
Passo 5
A equação resultante,
, representa um círculo de raio 1 centrado na origem no sistema de coordenadas
-
.
Resposta
A imagem do conjunto
sob a transformação dada é o círculo unitário definido por
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a região delimitada pelas curvas
,
Mostre que
Calcular as integrais :