Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada: S é a elipse dada por (x/a)^2 + (y/b)^2 <= 1 ; x = a u, y = b v, onde a e b são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a imagem do conjunto sob uma transformação dada. O conjunto é uma elipse definida por , e a transformação que vamos aplicar é e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações geométricas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a transformação e . Basicamente, estamos redefinindo as coordenadas e em termos de novas variáveis e , escalando-as pelos fatores e respectivamente.

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões de e na equação da elipse. Então, temos:

Passo 4

Simplificando as frações dentro dos parênteses:

Passo 5

A equação resultante, , representa um círculo de raio 1 centrado na origem no sistema de coordenadas - .

Resposta

A imagem do conjunto sob a transformação dada é o círculo unitário definido por .

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