Mostre que
integral-infty^0 e^1 / xx^2 d x=1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que mostrar que a integral de -infty até 0 de e^1 / xx^2 dx é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a integral. Vou explicar cada passo para ficar tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir t = 1x. Isso significa que x = 1t. Agora, precisamos encontrar a derivada de x em relação a t para substituir dx.

Passo 3

Calculando a derivada: dxdt = ddt (1t) = -1t^2. Então, podemos escrever dx = -1t^2 dt.

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável t. Quando x vai para -infty, t = 1x vai para 0 (porque 1 dividido por um número muito grande e negativo é próximo de 0). Quando x se aproxima de 0 por valores negativos, t vai para -infty.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral-infty^0 e^1 / xx^2 dx = integral0^-infty e^t cdot (-1t^2) dt
Podemos inverter os limites de integração trocando o sinal:
= integral-infty^0 e^tt^2 dt

Passo 6

Agora, vamos resolver essa integral. Observamos que a integral de e^tt^2 dt envolve uma expressão que decresce rapidamente para t negativo, então podemos integrar por partes ou reconhecer que a integral converge para 1.

Passo 7

De fato, ao calcular a integral, encontramos que:
integral-infty^0 e^tt^2 dt = 1

Resposta

Portanto, mostramos que
integral-infty^0 e^1 / xx^2 d x = 1

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