Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que mostrar que a integral de até de é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a integral. Vou explicar cada passo para ficar tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada: . Então, podemos escrever .

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável . Quando vai para , vai para (porque dividido por um número muito grande e negativo é próximo de ). Quando se aproxima de por valores negativos, vai para .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
Podemos inverter os limites de integração trocando o sinal:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa integral. Observamos que a integral de envolve uma expressão que decresce rapidamente para negativo, então podemos integrar por partes ou reconhecer que a integral converge para 1.

Passo 7

De fato, ao calcular a integral, encontramos que:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a elipse dada por , onde e são constantes.
Calcule as integrais abaixo:
Calcular as integrais :
Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é o quadrilátero delimitado pelos pontos