Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que mostrar que a integral de
até
de
é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a integral. Vou explicar cada passo para ficar tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
.
Passo 3
Calculando a derivada:
. Então, podemos escrever
.
Passo 4
Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável
. Quando
vai para
,
vai para
(porque
dividido por um número muito grande e negativo é próximo de
). Quando
se aproxima de
por valores negativos,
vai para
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Podemos inverter os limites de integração trocando o sinal:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa integral. Observamos que a integral de
envolve uma expressão que decresce rapidamente para
negativo, então podemos integrar por partes ou reconhecer que a integral converge para 1.
Passo 7
De fato, ao calcular a integral, encontramos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
Exercícios relacionados
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a elipse dada por
, onde
e
são constantes.
Calcule as integrais abaixo:
Calcular as integrais :
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é o quadrilátero delimitado pelos pontos