Se
e
, quanto vale
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos as médias de uma função
em três intervalos diferentes: de 1 a 2, de 2 a 8 e de 2 a 16. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integração e substituição. Vamos precisar entender como trabalhar com médias de funções e realizar uma substituição adequada para resolver a integral
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a média de uma função em um intervalo. A média de
no intervalo
é dada por:
Então, se
, isso significa que:
Fazemos o mesmo para os outros intervalos:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral que precisamos resolver:
. Para simplificar isso, vamos usar uma técnica chamada substituição.
Vamos definir:
Então, precisamos achar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos também mudar os limites de integração para a variável
. Quando
:
E quando
:
Então, a integral original fica:
Passo 5
Já sabemos que
a partir do passo 2. Então, substituindo isso na nossa expressão:
Resposta
O valor da integral
é 140.