Se lang<= frang<=[1,2]=36,lang<= frang<=[2,8]=18 e lang<= frang<=[2,16]=60, quanto vale integral1^2 x^2 f(2 x^3) d x ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos as médias de uma função em três intervalos diferentes: de 1 a 2, de 2 a 8 e de 2 a 16. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integração e substituição. Vamos precisar entender como trabalhar com médias de funções e realizar uma substituição adequada para resolver a integral .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a média de uma função em um intervalo. A média de lang<= f rang<=[a,b] = 1b - a integrala^b f(x) , dx no intervalo integral1^2 f(x) , dx = 36 times (2 - 1) = 36 é dada por:
integral2^8 f(x) , dx = 18 times (8 - 2) = 108
Então, se integral2^16 f(x) , dx = 60 times (16 - 2) = 840 , isso significa que:
Fazemos o mesmo para os outros intervalos:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral que precisamos resolver: u = 2x^3 . Para simplificar isso, vamos usar uma técnica chamada substituição.
Vamos definir:
dudx = 6x^2 implies du = 6x^2 dx implies x^2 dx = du6
Então, precisamos achar a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração para a variável u = 2(1)^3 = 2 . Quando u = 2(2)^3 = 16 :
integral1^2 x^2 f(2x^3) dx = integral2^16 f(u) cdot du6 = 16 integral2^16 f(u) du
E quando :
Então, a integral original fica:

Passo 5

Já sabemos que 16 integral2^16 f(u) du = 8406 = 140 a partir do passo 2. Então, substituindo isso na nossa expressão:

Resposta

O valor da integral é 140.

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