(1) (2)Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
(a) sum x^n2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e para resolver vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador: sum x^n2^n cdot n! . Isso é o mesmo que , porque multiplicamos o 2 por ele mesmo vezes e depois multiplicamos por . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = x^n+12^n+1 cdot (n+1)!x^n2^n cdot n! = x^n+12^n+1 cdot (n+1)! cdot 2^n cdot n!x^n = x2(n+1) . Vamos substituir:

Passo 4

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty | x2(n+1) | = limn to infty |x|2(n+1) = 0
Como , o teste diz que a série converge para todo valor de .

Passo 5

O raio de convergência ( ) é infinito, já que a série converge para todo . O intervalo de convergência, portanto, é .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .

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