Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x 0 ln (2 x+1)3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
lim x 0 ln (2x + 1)3x
Isso envolve conceitos de limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta quando o seu argumento está próximo de 1 e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, está se aproximando de 1. O logaritmo natural de 1 é 0, então tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0. Isso é um caso do tipo , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
limx to a f'(x)g'(x)

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de ddx ln(2x + 1) = 22x + 1 em relação a ddx 3x = 3 :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, aplicando essas derivadas no limite, temos:
limx 0 22x + 13 = limx 0 23(2x + 1)

Passo 6

Agora, substituímos 23(2(0) + 1) = 23(0 + 1) = 23 na expressão:

Resposta

lim x 0 ln (2x + 1)3x = 23

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