Calcule os limites a seguir, justificando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Isso envolve conceitos de limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta quando o seu argumento está próximo de 1 e usar algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então,
está se aproximando de 1. O logaritmo natural de 1 é 0, então tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0. Isso é um caso do tipo
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos:
então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, aplicando essas derivadas no limite, temos:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão: