Calcular as integrais.
3 integral0 x raiz1+x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração de funções que têm polinômios e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, observa que temos dentro da integral. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar essa expressão. Vamos definir . Assim, precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando du = dx :
x = u - 1
Isso significa que . Também, já que , podemos resolver para :

Passo 4

Agora, substituímos 3 integral0 x raiz1+x , dx = 3 integral (u - 1) raizu , du e 3 integral (u - 1) cdot u^1/2 , du = 3 integral (u^3/2 - u^1/2) , du na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
3 ( integral u^3/2 , du - integral u^1/2 , du )
A regra geral para integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa regra em cada termo:
3 ( u^5/25/2 - u^3/23/2 ) + C
Simplificando as frações:
3 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C

Passo 7

Por fim, substituímos 3 ( 25 (1 + x)^5/2 - 23 (1 + x)^3/2 ) + C de volta na expressão:
65 (1 + x)^5/2 - 2 (1 + x)^3/2 + C
Distribuindo o 3:

Resposta

A integral 65 (1 + x)^5/2 - 2 (1 + x)^3/2 + C é igual a:

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