Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a série
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma pra um número finito) ou diverge (não soma). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste de Comparação. Basicamente, se a gente tem duas séries positivas,
e
, e se
para todo
a partir de um certo ponto, então:
- Se
converge, então também converge. - Se
diverge, então também diverge.
Aqui, queremos mostrar que nossa série original converge, então vamos procurar uma série
que converja e que seja maior ou igual à nossa.
Passo 3
Olha só, nossa série tem o termo
. Sabemos que o logaritmo cresce bem mais devagar que qualquer potência de
. Ou seja, para grandes valores de
,
é bem menor que, por exemplo,
.
Então, podemos escrever que para
:
Passo 4
Substituindo isso na nossa série, temos:
Então, nossa série original é menor ou igual à série
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série de comparação
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, essa série converge.
Passo 6
Como mostramos que
para todo
, e sabemos que a série
converge, pelo Teste de Comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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e
, sabendo que:
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.