Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a série . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma pra um número finito) ou diverge (não soma). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste de Comparação. Basicamente, se a gente tem duas séries positivas, e , e se para todo a partir de um certo ponto, então:
  • Se converge, então também converge.
  • Se diverge, então também diverge.
Aqui, queremos mostrar que nossa série original converge, então vamos procurar uma série que converja e que seja maior ou igual à nossa.

Passo 3

Olha só, nossa série tem o termo . Sabemos que o logaritmo cresce bem mais devagar que qualquer potência de . Ou seja, para grandes valores de , é bem menor que, por exemplo, .
Então, podemos escrever que para :

Passo 4

Substituindo isso na nossa série, temos:
Então, nossa série original é menor ou igual à série .

Passo 5

Agora, vamos analisar a série de comparação . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série converge.

Passo 6

Como mostramos que para todo , e sabemos que a série converge, pelo Teste de Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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