Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l) sumn=2^infty ln nn^3

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a série sumn=2^infty ln nn^3. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma pra um número finito) ou diverge (não soma). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste de Comparação. Basicamente, se a gente tem duas séries positivas, sum an e sum bn, e se an <= bn para todo n a partir de um certo ponto, então:
  • Se sum bn converge, então sum an também converge.
  • Se sum an diverge, então sum bn também diverge.
Aqui, queremos mostrar que nossa série original converge, então vamos procurar uma série sum bn que converja e que seja maior ou igual à nossa.

Passo 3

Olha só, nossa série tem o termo ln nn^3. Sabemos que o logaritmo cresce bem mais devagar que qualquer potência de n. Ou seja, para grandes valores de n, ln n é bem menor que, por exemplo, n^1/2.
Então, podemos escrever que para n >= 2:
ln n <= n^1/2

Passo 4

Substituindo isso na nossa série, temos:
ln nn^3 <= n^1/2n^3 = 1n^5/2
Então, nossa série original é menor ou igual à série sum 1n^5/2.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série de comparação sum 1n^5/2. Essa é uma série p, onde p = 52. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 5/2 = 2.5 > 1, essa série converge.

Passo 6

Como mostramos que ln nn^3 <= 1n^5/2 para todo n >= 2, e sabemos que a série sum 1n^5/2 converge, pelo Teste de Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty ln nn^3 converge.

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