Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular todas as raízes cúbicas de . Isso envolve trabalhar com números complexos. Vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre para encontrar todas as três raízes. No final, vamos representar esses valores no plano complexo dentro de um círculo com centro na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o número complexo para a forma polar. Lembre-se que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Vamos calcular o módulo de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . Para , o ponto está no quarto quadrante. Então:
Mas para termos o ângulo positivo, podemos adicionar :

Passo 5

Agora, usamos a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas. A fórmula é:
Onde para as três raízes.

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula com :
E os ângulos para cada :

Passo 7

Calculando para cada :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As três raízes cúbicas de são:
Essas raízes estão representadas no plano complexo dentro de um círculo centrado na origem.

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