Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular todas as raízes cúbicas de
. Isso envolve trabalhar com números complexos. Vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre para encontrar todas as três raízes. No final, vamos representar esses valores no plano complexo dentro de um círculo com centro na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o número complexo
para a forma polar. Lembre-se que qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Para
, o ponto está no quarto quadrante. Então:
Mas para termos o ângulo positivo, podemos adicionar
:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas. A fórmula é:
Onde
para as três raízes.
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula com
:
E os ângulos para cada
:
Passo 7
Calculando para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As três raízes cúbicas de
são:
Essas raízes estão representadas no plano complexo dentro de um círculo centrado na origem.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l)
(l)
Calcular as integrais.
Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva
e é limitado por esta curva e pelas retas
.
Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
b)
b)