Calcular as integrais :
integral1^e (ln x)^3x d x

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente tem que calcular a integral definida de de até . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma boa substituição para simplificar a integral. Olha só, temos no numerador e no denominador. Isso me faz pensar em usar , porque a derivada de é , que já está presente na integral.

Passo 3

Vamos definir du = 1x dx . Agora, derivando ambos os lados em relação a integral1^e (ln x)^3x dx = integralu(1)^u(e) u^3 du , temos:
Isso significa que . Assim, nossa integral fica muito mais simples:

Passo 4

Agora precisamos ajustar os limites de integração para u = ln 1 = 0 . Quando u = ln e = 1 :
integral0^1 u^3 du
E quando :
Então, nossa integral agora é:

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral u^3 du = u^44 + C em relação a u^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 - 0 = 14 :
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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