Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(a) Calcule a reta tangente no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma curva definida por equações paramétricas: e . A gente precisa encontrar a reta tangente nessa curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Vamos isso substituindo na equação :
Resolvendo para , temos:
Então, é o parâmetro que nos dá o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada que nos dá a inclinação da reta tangente. Como temos funções paramétricas, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos e :

Passo 4

Substituindo e na fórmula da derivada:
Agora, avaliamos essa derivada no valor de :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com a inclinação conhecida e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma:
Onde e . Substituindo:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é .

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