Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(b) Determine os pontos de onde a tangente é horizontal ou vertical. Se tiver.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas:
O conteúdo principal aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas. Para resolver, precisamos calcular as derivadas de e em relação a e usar essas para encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Queremos identificar os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos indicam como e mudam conforme varia.

Passo 3

A inclinação da tangente à curva em qualquer ponto é dada por , que pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Então, a inclinação depende diretamente de .

Passo 4

Para encontrar onde a tangente é horizontal, a inclinação deve ser zero:
Agora, vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo nas equações paramétricas:
Portanto, o ponto onde a tangente é horizontal é .

Passo 5

Para encontrar onde a tangente é vertical, a derivada deve ser zero (pois a inclinação seria infinita):
Notamos que já foi usado para a tangente horizontal. Vamos verificar se há algum outro valor de que possa levar a uma tangente vertical.

Passo 6

Observando , vemos que para a tangente ser vertical, e . Mas em , temos , o que significa que a tangente não é vertical nesse ponto. Além disso, para qualquer outro valor de , , então não há outros pontos com tangente vertical.

Resposta

A curva tem uma tangente horizontal no ponto e não possui pontos onde a tangente é vertical.

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