Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
(b) Determine os pontos de
onde a tangente é horizontal ou vertical. Se tiver.
(b) Determine os pontos de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva
definida pelas equações paramétricas:
O conteúdo principal aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas. Para resolver, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e usar essas para encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Queremos identificar os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos indicam como
e
mudam conforme
varia.
Passo 3
A inclinação da tangente à curva em qualquer ponto é dada por
, que pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Então, a inclinação depende diretamente de
.
Passo 4
Para encontrar onde a tangente é horizontal, a inclinação deve ser zero:
Agora, vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo
nas equações paramétricas:
Portanto, o ponto onde a tangente é horizontal é
.
Passo 5
Para encontrar onde a tangente é vertical, a derivada
deve ser zero (pois a inclinação seria infinita):
Notamos que
já foi usado para a tangente horizontal. Vamos verificar se há algum outro valor de
que possa levar a uma tangente vertical.
Passo 6
Observando
, vemos que para a tangente ser vertical,
e
. Mas em
, temos
, o que significa que a tangente não é vertical nesse ponto. Além disso, para qualquer outro valor de
,
, então não há outros pontos com tangente vertical.
Resposta
A curva
tem uma tangente horizontal no ponto
e não possui pontos onde a tangente é vertical.
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Seja
. Determine
e
.
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