Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
(b) y' = 2 sec(2y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar funções trigonométricas. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação original é:
Vamos reescrever para separar:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Lembrando que a integral de em relação a é , e a integral de em relação a é :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a equação para isolar :
Agora, precisamos resolver para . Para isso, aplicamos a função arco seno nos dois lados:

Passo 5

Por fim, isolamos dividindo por 2:
E essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

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