Calcular as integrais :
integral1^8 x-4raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de (x - 4) dividido pela raiz cúbica de x, no intervalo de 1 a 8. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem potências de x e usar propriedades das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração. A raiz cúbica de x é a mesma coisa que x^1/3, então temos:
x - 4raiz[3]x = x - 4x^1/3 = x^1 - 1/3 - 4x^-1/3 = x^2/3 - 4x^-1/3
Aqui, usamos a propriedade de potências x^ax^b = x^a - b.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de x^n é x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites depois.
Integrando x^2/3:
integral x^2/3 dx = x^2/3 + 12/3 + 1 = x^5/35/3 = 35x^5/3
Integrando -4x^-1/3:
integral -4x^-1/3 dx = -4 cdot x^-1/3 + 1-1/3 + 1 = -4 cdot x^2/32/3 = -4 cdot 32x^2/3 = -6x^2/3

Passo 4

Agora, juntando as integrais:
integral1^8 x - 4raiz[3]x dx = [ 35x^5/3 - 6x^2/3 ]1^8
Isso significa que precisamos avaliar essa expressão nos limites de 8 e 1 e fazer a subtração.

Passo 5

Vamos calcular em x = 8:
35(8)^5/3 - 6(8)^2/3
Sabemos que 8^1/3 = 2, então 8^5/3 = (8^1/3)^5 = 2^5 = 32 e 8^2/3 = (8^1/3)^2 = 2^2 = 4. Portanto:
35 times 32 - 6 times 4 = 965 - 24 = 965 - 1205 = -245
Agora, em x = 1:
35(1)^5/3 - 6(1)^2/3 = 35 times 1 - 6 times 1 = 35 - 6 = 35 - 305 = -275

Passo 6

Subtraímos os valores calculados nos limites:
-245 - (-275) = -245 + 275 = 35

Resposta

A integral vale 35.

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