Calcular as integrais :
integralln 1 / 2^ln 1 / raiz2 e^xraiz1-e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral definida de uma função envolvendo exponenciais e uma raiz quadrada. Vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente, a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de , o que geralmente facilita o cálculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du = e^x dx implies dx = due^x = duu em relação a para substituir .

Passo 4

Substituindo integralln 12^ln 1raiz2 e^xraiz1 - e^2x dx = integral12^1raiz2 uraiz1 - u^2 cdot duu = integral12^1raiz2 1raiz1 - u^2 du por e por na integral original, temos:

Passo 5

A integral resultante integral12^1raiz2 1raiz1 - u^2 du = arcsin(1raiz2) - arcsin(12) é uma integral conhecida, cuja antiderivada é . Então, vamos calcular:

Passo 6

Agora, vamos avaliar as funções trigonométricas:
arcsin(1raiz2) = pi4 e arcsin(12) = pi6
Subtraindo os dois valores:
pi4 - pi6 = 3pi12 - 2pi12 = pi12

Resposta

pi12

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