Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A questão pede para resolver a equação
com as condições iniciais
e
.
Aqui, vamos utilizar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes e Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
.
A gente faz isso encontrando as raízes da equação característica:
.
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
.
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos
:
Passo 6
Agora, resolvemos o sistema de equa�es 1 e 2 para encontrar
e
.
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
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Questão 7. Calcule os limites abaixo usando as regras de La)
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
e)
e)
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
b)
b)
Calcular as integrais :