Resolva os problemas de valor inicial abaixo: y'' - 4y' + 3y = 4e^(-x), y(0) = 0, y'(0) = 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A questão pede para resolver a equação com as condições iniciais e .
Aqui, vamos utilizar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes e Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é .
A gente faz isso encontrando as raízes da equação característica: .
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa .
Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
çã
Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos :
çã

Passo 6

Agora, resolvemos o sistema de equa�es 1 e 2 para encontrar e .
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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