Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função e representar esse domínio no plano . O domínio de uma função são todos os pares que fazem a função funcionar direitinho, ou seja, sem causar divisões por zero ou radicais de números negativos quando não permitem. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e ver quais valores de e são permitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fração . Aqui temos duas coisas importantes:
  1. Denominador diferente de zero: O denominador não pode ser zero, então precisamos que .
  2. Radical definido: A raiz de índice 30 é um número par, então o que está dentro do radical precisa ser maior ou igual a zero. Então, .
No caso das raízes com índice par, para que sejam reais, o radicando tem que ser positivo ou zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função: . Assim como antes:
  1. Radical definido: A raiz de índice 6 é par, então .
Semelhante ao caso anterior, o que está dentro do radical precisa ser positivo ou zero para que a raiz exista no conjunto dos números reais.

Passo 4

Vamos resumir as condições que encontramos:
  1. (para a primeira raiz ser definida).
  2. (para evitar divisão por zero).
  3. (para a segunda raiz ser definida).
Como e , na verdade podemos simplificar para .
Portanto, as duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente são:

Passo 5

Agora, vamos representar essas condições no plano :
  1. Para :
    • Podemos reescrever como . Isso é uma reta , e queremos os pontos acima dessa reta.
  2. Para :
    • Podemos reescrever como . Essa é a reta , e queremos os pontos acima ou sobre essa reta.
No gráfico, o domínio será a região que está acima de E acima de .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem e . Graficamente, essa região está acima da reta e também acima ou sobre a reta no plano .

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