Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função
e representar esse domínio no plano
. O domínio de uma função são todos os pares
que fazem a função funcionar direitinho, ou seja, sem causar divisões por zero ou radicais de números negativos quando não permitem. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e ver quais valores de
e
são permitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a fração
. Aqui temos duas coisas importantes:
- Denominador diferente de zero: O denominador
não pode ser zero, então precisamos que . - Radical definido: A raiz de índice 30 é um número par, então o que está dentro do radical precisa ser maior ou igual a zero. Então,
.
No caso das raízes com índice par, para que sejam reais, o radicando tem que ser positivo ou zero.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função:
. Assim como antes:
- Radical definido: A raiz de índice 6 é par, então
.
Semelhante ao caso anterior, o que está dentro do radical precisa ser positivo ou zero para que a raiz exista no conjunto dos números reais.
Passo 4
Vamos resumir as condições que encontramos:
-
(para a primeira raiz ser definida). -
(para evitar divisão por zero). -
(para a segunda raiz ser definida).
Como
e
, na verdade podemos simplificar para
.
Portanto, as duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente são:
Passo 5
Agora, vamos representar essas condições no plano
:
- Para
: - Podemos reescrever como
. Isso é uma reta , e queremos os pontos acima dessa reta.
- Podemos reescrever como
- Para
: - Podemos reescrever como
. Essa é a reta , e queremos os pontos acima ou sobre essa reta.
- Podemos reescrever como
No gráfico, o domínio será a região que está acima de
E acima de
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
e
. Graficamente, essa região está acima da reta
e também acima ou sobre a reta
no plano
.
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