Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução completa da equação diferencial não-homogênea:
Isso significa que vamos calcular a solução geral da equação homogênea associada e adicionar uma solução particular da equação completa. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução geral dessa equação homogênea, precisamos resolver a equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores do termo independente (-4) sobre os divisores do coeficiente líder (1), ou seja,
.
Testando
:
Portanto,
é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação característica usando
:
Usando divisão polinomial ou fatoração:
Então, temos:
As raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Simplificando, já que
:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não-homogênea:
Como o termo não-homogêneo é
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Substituindo:
Simplificando termo a termo:
Agrupando os coeficientes de
e
:
Para
:
Para
:
Então, temos:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes de
e
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 9
Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
na relação
:
Passo 10
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a solução particular:
Passo 11
Finalmente, a solução completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais :
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
b)
b)
Calcular as integrais :
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;