Determine a solução completa das equações não-homogêneas: ;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução completa da equação diferencial não-homogênea:
Isso significa que vamos calcular a solução geral da equação homogênea associada e adicionar uma solução particular da equação completa. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução geral dessa equação homogênea, precisamos resolver a equação característica. Substituímos na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores do termo independente (-4) sobre os divisores do coeficiente líder (1), ou seja, .
Testando :
Portanto, é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação característica usando :
Usando divisão polinomial ou fatoração:
Então, temos:
As raízes são e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Simplificando, já que :
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não-homogênea:
Como o termo não-homogêneo é , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 7

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Substituindo:
Simplificando termo a termo:
Agrupando os coeficientes de e :
Para :
Para :
Então, temos:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de e dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 9

Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos na relação :

Passo 10

Com os valores de e encontrados, podemos escrever a solução particular:

Passo 11

Finalmente, a solução completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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