Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a não homogênea. Depois disso, aplicamos as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Essa equação pode ser fatorada como:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 5

Como a equação característica tem raízes reais e iguais ( com multiplicidade 2), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para os termos com :
Para os termos constantes:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 12

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então:

Passo 13

Agora, para :
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Simplificando em :
Então:

Passo 14

Finalmente, substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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