Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a não homogênea. Depois disso, aplicamos as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Essa equação pode ser fatorada como:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Como a equação característica tem raízes reais e iguais (
com multiplicidade 2), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 12
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então:
Passo 13
Agora, para
:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Simplificando em
:
Então:
Passo 14
Finalmente, substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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