Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação diferencial não-homogênea:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não-homogêneas, como o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não-homogênea:
Primeiro, simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para encontrar a solução particular
, assumimos uma forma semelhante ao lado direito. Como está com um seno, tentamos:
Aqui,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso reduz para:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes das funções cosseno e seno:
Para :
Para
Para
:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução completa da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Calcular as integrais :
Calcule os limites abaixo
Seja
uma função real e
. Defina: a derivada de
no ponto
.