Determine a solução completa das equações não-homogêneas: y'' + 5 y' + 4 y = 15 sen x cos x

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação diferencial não-homogênea:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para resolver equações não-homogêneas, como o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não-homogênea:
Primeiro, simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:

Passo 5

Para encontrar a solução particular , assumimos uma forma semelhante ao lado direito. Como está com um seno, tentamos:
Aqui, e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Isso reduz para:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes das funções cosseno e seno:
Para :
Para :

Passo 9

Então, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução completa da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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