Calcular as integrais :
integralraiz2 / 2^1 arcsen t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa integral: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso significa que a gente escolhe partes da nossa integral para serem e , e então transforma a integral original em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos identificar u = arcsin t e dv = dt e na nossa integral. Aqui, temos:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddt (arcsin t) , dt = 1raiz1 - t^2 , dt , derivamos v = integral dv = integral dt = t em relação a :
E para , integramos :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arcsin t , dt = arcsin t cdot t - integral t cdot 1raiz1 - t^2 , dt
Então, nossa integral agora virou:
arcsin t cdot t - integral traiz1 - t^2 , dt

Passo 6

Vamos resolver a nova integral integral traiz1 - t^2 , dt = -12 integral 1raizu , du = -12 cdot 2raizu + C = -raiz1 - t^2 + C . Fazendo uma substituição simples, deixe , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral arcsin t , dt = arcsin t cdot t - (-raiz1 - t^2) + C = t arcsin t + raiz1 - t^2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de a .

Passo 8

Aplicando os limites:
[ t arcsin t + raiz1 - t^2 ]raiz2/2^1
Calculamos em 1 cdot arcsin(1) + raiz1 - 1^2 = 1 cdot pi2 + 0 = pi2 :
raiz22 cdot arcsin(raiz22) + raiz1 - (raiz22)^2 = raiz22 cdot pi4 + raiz1 - 12 = raiz2 pi8 + raiz22
E em :

Resposta

Subtraindo as duas partes, temos:
pi2 - ( raiz2 pi8 + raiz22 ) = 4pi8 - raiz2 pi8 - raiz22 = (4 - raiz2)pi8 - raiz22
Portanto, a integral (4 - raiz2)pi8 - raiz22 é igual a:

Exercícios relacionados