Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de no intervalo de
a
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar saber uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil:
Essa identidade nos ajuda a reescrever o quadrado do seno em termos de cosseno, o que facilita a integração.
Passo 3
Aplicando a identidade na nossa integral, temos:
Simplificando o 8 com o 2:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a
é simplesmente
, e a integral de
é .
Passo 5
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de integração:
Passo 6
Sabemos que e , então simplificando:
Resposta
O valor da integral definida é
.