Calcule as integrais definidas abaixo: integral0^pi2 8 sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar saber uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil:
Essa identidade nos ajuda a reescrever o quadrado do seno em termos de cosseno, o que facilita a integração.

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral, temos:
Simplificando o 8 com o 2:
integral0^pi2 8 sen^2 x , dx = 8 integral0^pi2 1 - cos(2x)2 , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
4 [ integral0^pi2 1 , dx - integral0^pi2 cos(2x) , dx ]
A integral de 1 em relação a é simplesmente , e a integral de é .

Passo 5

Calculando as integrais:
Substituindo os limites de integração:

Passo 6

Sabemos que e , então simplificando:
4 [ pi2 - ( 0 - 0 ) ] = 4 cdot pi2 = 2pi

Resposta

O valor da integral definida é .

Exercícios relacionados