Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
6. integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função composta, então vamos usar o método da substituição. Para isso, precisamos identificar uma parte da integral que, ao substituirmos, vai simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que u = e^2t + 2 está dentro de uma potência e também multiplicando . Então, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de em relação a aparecerá na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudt = 2e^2t em relação a du = 2e^2t , dt :
e^2t , dt = du2
Ou seja,
Perceba que temos na integral original, então podemos resolver para :

Passo 4

Substituindo integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t , dt = integral u^1/3 cdot du2 = 12 integral u^1/3 , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples, envolvendo apenas .

Passo 5

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C . Lembrando que a integral de é:
Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa substituição, temos:
12 integral u^1/3 , du = 12 cdot 34 u^4/3 + C = 38 u^4/3 + C
Agora, substituímos 38 (e^2t + 2)^4/3 + C pela expressão original :

Resposta

A integral 38 (e^2t + 2)^4/3 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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