Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
6.
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função composta, então vamos usar o método da substituição. Para isso, precisamos identificar uma parte da integral que, ao substituirmos, vai simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que
está dentro de uma potência e também multiplicando
. Então, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de
em relação a
aparecerá na integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Ou seja,
Perceba que temos
na integral original, então podemos resolver para
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples, envolvendo apenas
.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
. Lembrando que a integral de
é:
Aqui,
, então:
Passo 6
Voltando à nossa substituição, temos:
Agora, substituímos
pela expressão original
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas
. Calcule a área dessa região.
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com
(a)
por substituição com
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
38.
38.
Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.