Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função composta, então vamos usar o método da substituição. Para isso, precisamos identificar uma parte da integral que, ao substituirmos, vai simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que está dentro de uma potência e também multiplicando . Então, vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de em relação a aparecerá na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Ou seja,
Perceba que temos na integral original, então podemos resolver para :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples, envolvendo apenas .

Passo 5

Vamos integrar em relação a . Lembrando que a integral de é:
Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa substituição, temos:
Agora, substituímos pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas . Calcule a área dessa região.
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
38.
Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.