Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de (e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t , dt usando o método da substituição. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que, ao ser substituída, facilite os cálculos. Observando a expressão (e^2 t+2)^1 / 3, percebemos que o termo dentro da potência pode ser um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos definir u = e^2t + 2. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral. Derivando ambos os lados:
dudt = 2 e^2t

Passo 4

Isolando dt, temos:
dt = du2 e^2t

Passo 5

Agora, vamos substituir u e dt na integral original:
integral (e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t , dt = integral u^1/3 e^2t cdot du2 e^2t = integral u^1/32 , du
Perceba que e^2t cancela, simplificando bastante a integral!

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral u^1/32 , du = 12 integral u^1/3 , du
Para integrar u^1/3, lembramos que a integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1.

Passo 7

Aplicando a regra de integração:
12 integral u^1/3 , du = 12 cdot u^4/34/3 + C = 38 u^4/3 + C

Passo 8

Agora, vamos substituir u de volta para a expressão original em termos de t:
u = e^2t + 2 Rightarrow u^4/3 = (e^2t + 2)^4/3
Então, a expressão final fica:
38 (e^2t + 2)^4/3 + C

Resposta

A integral é igual a dfrac38 (e^2t + 2)^4/3 + C, onde C é a constante de integração.

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