Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
usando o método da substituição. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que, ao ser substituída, facilite os cálculos. Observando a expressão
, percebemos que o termo dentro da potência pode ser um bom candidato para substituição.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Isolando
, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Perceba que
cancela, simplificando bastante a integral!
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Para integrar
, lembramos que a integral de
é
, desde que
.
Passo 7
Aplicando a regra de integração:
Passo 8
Agora, vamos substituir
de volta para a expressão original em termos de
:
Então, a expressão final fica:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.