Calcule a integral de superfície da função sobre a superfície .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície da função sobre a superfície parametrizada por com variando em .
Aqui estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. O que vamos precisar fazer é:
Expressar a função em termos das variáveis e .
Encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área.
Montar e calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as coordenadas da função pela parametrização . Ou seja:
Então, a função em termos de e fica:
Vamos simplificar isso:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Isso é feito derivando em relação a e :
Passo 4
Com os vetores tangentes e em mãos, precisamos calcular o produto vetorial deles para encontrar o vetor normal à superfície. O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Passo 5
O próximo passo é calcular a magnitude desse vetor normal, que nos dá o elemento de área :
Então, o elemento de área é .
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície. Sabemos que:
Substituindo e :
Como é constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
Passo 7
Agora, vamos definir os limites de integração. Como e , a região é um retângulo no plano .
Vamos integrar primeiro em de 0 a 1 e depois em de 1 a 2:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em :
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Passo 9
Agora, substituímos essa expressão na integral externa: