Calcule a integral de superfície da função f(x, y, z) = x + y^2 + z sobre a superfície sigma(u, v) = (u + v - 1, u - v, u + 2 v) com (u, v) in [0, 1] x [1, 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície da função sobre a superfície parametrizada por com variando em .
Aqui estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. O que vamos precisar fazer é:
  1. Expressar a função em termos das variáveis e .
  2. Encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área.
  3. Montar e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as coordenadas da função pela parametrização . Ou seja:
Então, a função em termos de e fica:
Vamos simplificar isso:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Isso é feito derivando em relação a e :

Passo 4

Com os vetores tangentes e em mãos, precisamos calcular o produto vetorial deles para encontrar o vetor normal à superfície. O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:

Passo 5

O próximo passo é calcular a magnitude desse vetor normal, que nos dá o elemento de área :
Então, o elemento de área é .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície. Sabemos que:
Substituindo e :
Como é constante, podemos fatorá-la para fora da integral:

Passo 7

Agora, vamos definir os limites de integração. Como e , a região é um retângulo no plano .
Vamos integrar primeiro em de 0 a 1 e depois em de 1 a 2:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em :
Integrando termo a termo:
Somando tudo:

Passo 9

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Passo 10

Multiplicando pelo :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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