Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(f) u_n = n^n / n!

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência está aumentando, diminuindo ou se comporta de outra forma à medida que cresce. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e utilizar algumas propriedades de logaritmos e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser monótona:
  • Monotonicamente crescente: Cada termo é maior ou igual ao anterior.
  • Monotonicamente decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
Para determinar isso, uma boa estratégia é comparar o termo com . Se para todo , a sequência é crescente. Se , é decrescente.

Passo 3

Vamos calcular a razão :
Sabemos que , então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, sabemos que é uma expressão que se aproxima de conforme cresce, onde é aproximadamente 2,71828. Mas o mais importante aqui é que para todo .
Isso significa que:

Passo 5

Quando a razão entre e é maior que 1, isso indica que . Ou seja, cada termo da sequência é maior que o anterior.

Resposta

A sequência é monotonicamente crescente, ou seja, está sempre aumentando conforme aumenta.

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