Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência está aumentando, diminuindo ou se comporta de outra forma à medida que
cresce. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e utilizar algumas propriedades de logaritmos e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser monótona:
- Monotonicamente crescente: Cada termo é maior ou igual ao anterior.
- Monotonicamente decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
Para determinar isso, uma boa estratégia é comparar o termo
com
. Se
para todo
, a sequência é crescente. Se
, é decrescente.
Passo 3
Vamos calcular a razão
:
Sabemos que
, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, sabemos que
é uma expressão que se aproxima de
conforme
cresce, onde
é aproximadamente 2,71828. Mas o mais importante aqui é que
para todo
.
Isso significa que:
Passo 5
Quando a razão entre
e
é maior que 1, isso indica que
. Ou seja, cada termo da sequência é maior que o anterior.
Resposta
A sequência
é monotonicamente crescente, ou seja, está sempre aumentando conforme
aumenta.