Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral(x^3-2)^1 / 7 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método da substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas fazendo uma troca de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que, se substituída, facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a expressão dentro do parênteses, , e o que está multiplicando, percebemos que a derivada de em relação a é . Isso sugere que vamos substituir .

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 ,dx implies x^2 ,dx = du3 em relação a para encontrar . Temos:
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral (u)^1/7 cdot du3 = 13 integral u^1/7 ,du e na integral, ficamos com:
Agora, a integral está em termos de , que é mais simples de calcular.

Passo 5

Vamos integrar integral u^n ,du = u^n+1n+1 + C em relação a . A regra para integrar uma potência de é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra acima com 13 cdot u^1/7 + 11/7 + 1 + C = 13 cdot u^8/78/7 + C = 724 u^8/7 + C , temos:

Passo 7

Agora, vamos substituir 724 (x^3 - 2)^8/7 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

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