Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área das regiões delimitadas pelas curvas , e . Isso envolve cálculo de integrais para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e decidir se vamos integrar em relação a ou a . Para simplificar, vamos escolher integrar em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas curvas se cruzam. Isso nos ajuda a saber os limites de integração. Vamos resolver as equações duas a duas.
Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Então, . Ponto de cruzamento: .
Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Então, . Ponto de cruzamento: .
Interseção de e :
Então, . Ponto de cruzamento: .
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção , e , vamos visualizar a área que queremos calcular. A curva passa por e , passa por e , e a reta passa por e . A região formada é um triângulo entre esses pontos.
Passo 4
Vamos optar por integrar em relação a . Para isso, precisamos expressar das curvas em função de e identificar qual curva está por cima e qual está por baixo em cada intervalo de .
Observando os pontos:
De a , as curvas são (por cima) e (por baixo).
De a , as curvas são (da reta ) por cima e por baixo.
Mas, na verdade, a reta pode ser reescrita como . Vamos verificar qual curva está por cima em cada intervalo.
De a :
está acima de .
De a :
está acima de .
Passo 5
Vamos agora montar a integral para calcular a área. A área será a soma das áreas dos dois intervalos:
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Resposta
Somando as duas áreas:
Então, a área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.