Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
®
e
.
®
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região
no plano que está delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo y) e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A equação
representa uma parábola que se abre para a esquerda porque o coeficiente de
é negativo. A linha
é simplesmente o eixo y, e
é uma linha horizontal.
Passo 3
Para saber os limites de integração, precisamos descobrir onde a parábola
cruza o eixo y, ou seja, onde
. Vamos resolver a equação
.
Passo 4
Resolvendo
, temos:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Portanto,
e
.
Passo 5
Agora sabemos que a parábola cruza o eixo y nos pontos
e
. No entanto, como temos a linha
como um dos limites, vamos considerar os limites de
de
a
.
Passo 6
A área que queremos calcular está entre
e
, limitada à esquerda pelo eixo y (
) e à direita pela parábola (
). Para encontrar a área, vamos integrar a função
em relação a
nesse intervalo.
Passo 7
A integral para calcular a área é:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliaremos essa expressão nos limites de
e
.
Passo 9
Primeiro, avaliamos em
:
Depois, em
:
Passo 10
A área total é a diferença entre essas duas avaliações:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(n) e
.
(n)
(b)
e
.
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e
.
(b)
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
c)
c)