Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
® e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região no plano que está delimitada pelas curvas , (que é o eixo y) e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A equação representa uma parábola que se abre para a esquerda porque o coeficiente de é negativo. A linha é simplesmente o eixo y, e é uma linha horizontal.

Passo 3

Para saber os limites de integração, precisamos descobrir onde a parábola cruza o eixo y, ou seja, onde . Vamos resolver a equação .

Passo 4

Resolvendo , temos:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Portanto, e .

Passo 5

Agora sabemos que a parábola cruza o eixo y nos pontos e . No entanto, como temos a linha como um dos limites, vamos considerar os limites de de a .

Passo 6

A área que queremos calcular está entre e , limitada à esquerda pelo eixo y ( ) e à direita pela parábola ( ). Para encontrar a área, vamos integrar a função em relação a nesse intervalo.

Passo 7

A integral para calcular a área é:
Á

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliaremos essa expressão nos limites de e .

Passo 9

Primeiro, avaliamos em :
Depois, em :

Passo 10

A área total é a diferença entre essas duas avaliações:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(n) e .
(b) e .
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e .
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
c)