Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
l) integral sen theta(5-cos theta)^3 d theta

Passo 1

Beleza, vamos ver o que temos aqui: precisamos calcular a integral usando o método da substituição. Isso significa que vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que possa ser substituída. Observando o denominador , parece uma boa ideia deixar . Essa substituição vai simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddtheta(5 - cos theta) dtheta = sen theta dtheta em relação a para encontrar :
Isso quer dizer que , que aparece no numerador da nossa integral original.

Passo 4

Vamos substituir integral sen theta(5 - cos theta)^3 dtheta = integral duu^3 e na integral original:
Agora a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a nova integral:
integral duu^3 = integral u^-3 du
A integral de integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C é:

Passo 6

Por fim, vamos substituir -12u^2 + C = -12(5 - cos theta)^2 + C de volta para a expressão original:

Resposta

A integral é igual a

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