Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d) integral(e^2 t+2)^13 e^2 t d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais que podem ser simplificadas com uma troca de variável. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = e^2 t + 2
Isso significa que estamos escolhendo como toda a expressão dentro do parêntese elevada à potência .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 2 e^2 t em relação a du = 2 e^2 t dt para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso implica que:

Passo 4

Observamos que na nossa integral original, temos e^2 t dt = du2 . Podemos reescrever em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos integral(e^2 t+2)^13 e^2 t dt = integral u^13 cdot du2 e 12 integral u^13 du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^13 du = u^13 + 113 + 1 + C = u^4343 + C = 34 u^43 + C :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando pela constante 12 cdot 34 u^43 + C = 38 u^43 + C que estava fora da integral:

Passo 8

Finalmente, substituímos 38 (e^2 t + 2)^43 + C de volta pela expressão original :

Resposta

A solução da integral é:
38 (e^2 t + 2)^43 + C

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