Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j) integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando o cálculo. Para isso, precisamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que está dentro do expoente da função u = x^2 + 1 . O expoente é . Vamos escolher essa expressão como nossa substituição. Então, definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = 2x :
du = 2x , dx
Isso significa que:
Observamos que na integral original temos . Podemos reorganizar a expressão para corresponder à nossa substituição.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de integral 2^x^2+1 , x , dx = 12 integral 2^u , du e :
Aqui, extraímos a constante para facilitar a integral.

Passo 5

Agora, integramos integral 2^u , du = 2^uln 2 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos 12 cdot 2^uln 2 + C = 2^x^2+12 ln 2 + C de volta à expressão original:
2^x^2+1ln 2 + C
Simplificando, temos:

Resposta

A integral 2^x^2+1ln 2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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