Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j)
j)
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando o cálculo. Para isso, precisamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que está dentro do expoente da função
. O expoente é
. Vamos escolher essa expressão como nossa substituição. Então, definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Isso significa que:
Observamos que na integral original temos
. Podemos reorganizar a expressão para corresponder à nossa substituição.
Passo 4
Reescrevemos a integral em termos de
e
:
Aqui, extraímos a constante
para facilitar a integral.
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
de volta à expressão original:
Simplificando, temos:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)
d)
Calcular as integrais definidas.
h)
h)
Calcule. b)
A potência elétrica gerada por uma turbina eólica depende de vários fatores. Usando princípios de física, pode-se mostrar que a potência
gerada por uma turbina eólica é modelada por meio da função
onde
é a velocidade do vento,
é a área varrida pelas pás da hélice e
é uma constante que depende da densidade do ar, da eficiência da turbina e do formato das pás da turbina.
Em determinada turbina eólica, as pás têm de comprimento e
. Determine a potência gerada (em watts,
) quando a velocidade do vento é igual a
e
.
Em determinada turbina eólica, as pás têm