Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando o cálculo. Para isso, precisamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que está dentro do expoente da função . O expoente é . Vamos escolher essa expressão como nossa substituição. Então, definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculamos a derivada de :
Isso significa que:
Observamos que na integral original temos . Podemos reorganizar a expressão para corresponder à nossa substituição.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de e :
Aqui, extraímos a constante para facilitar a integral.

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos de volta à expressão original:
Simplificando, temos:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)
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h)
Calcule. b)
A potência elétrica gerada por uma turbina eólica depende de vários fatores. Usando princípios de física, pode-se mostrar que a potência gerada por uma turbina eólica é modelada por meio da função
onde é a velocidade do vento, é a área varrida pelas pás da hélice e é uma constante que depende da densidade do ar, da eficiência da turbina e do formato das pás da turbina.
Em determinada turbina eólica, as pás têm de comprimento e . Determine a potência gerada (em watts, ) quando a velocidade do vento é igual a e .