Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, temos uma potência de 2 com um expoente que é uma função quadrática de
. Vamos precisar usar a substituição para simplificar essa expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando
, percebemos que o expoente
é uma função que podemos chamar de
. Então, vamos fazer:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá uma expressão para
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Aqui, separamos o
em
, já que
, mas para simplificar, consideramos apenas
com o fator constante separado.
Passo 5
Simplificando a integral, o 2 no numerador e no denominador se cancelam:
Agora, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração e
é o logaritmo natural de 2.
Passo 7
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos
de volta:
Resposta
Portanto, a integral
é:
Exercícios relacionados
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
e)
e)
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)
d)
Calcule o limite, se existir.
h)
h)
Calcule o limite, se existir.
j)
j)