Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j) integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, temos uma potência de 2 com um expoente que é uma função quadrática de . Vamos precisar usar a substituição para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando u = x^2 , percebemos que o expoente é uma função que podemos chamar de . Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em termos de x , dx = du2 . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá uma expressão para :

Passo 4

Vamos substituir integral 2^x^2+1 x , dx = 2 integral 2^u cdot du2 e na integral original:
Aqui, separamos o em , já que , mas para simplificar, consideramos apenas com o fator constante separado.

Passo 5

Simplificando a integral, o 2 no numerador e no denominador se cancelam:
2 cdot 12 integral 2^u , du = integral 2^u , du
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 6

A integral de integral 2^u , du = 2^uln 2 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração e é o logaritmo natural de 2.

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original 2^uln 2 + C = 2^x^2ln 2 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Portanto, a integral 2^x^2+1ln 2 + C é:

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