Calcule o limite, se existir.
h) lim x 0 tanh a xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 para a função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, e vamos precisar entender como a função hiperbólica tangente ( ) se comporta próximo de zero para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tanh(z) = e^z - e^-ze^z + e^-z . A tangente hiperbólica é definida por:
Para valores de próximos a zero, podemos simplificar essa expressão usando uma aproximação para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Quando e^z approx 1 + z + z^22 é muito pequeno, as funções exponenciais podem ser aproximadas pela sua série de Taylor. Para tanh(a x) approx (1 + a x + (a x)^22) - (1 - a x + (a x)^22)(1 + a x + (a x)^22) + (1 - a x + (a x)^22) = 2 a x2 = a x , temos:
Substituindo por , onde é uma constante, então:

Passo 4

Agora que temos limx to 0 tanh(a x)x approx limx to 0 a xx = limx to 0 a = a para próximo de 0, podemos substituir isso na expressão original do limite:

Resposta

O limite é igual a .

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