Calcule o limite, se existir.
j) lim x 0 x^2 cot ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender o que é o limite e como trabalhar com funções trigonométricas como a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente ( limx 0 x^2 cot^2 x = limx 0 x^2 (cos xsin x)^2 ) pode ser escrita em termos de seno e cosseno: . Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão:
limx 0 x^2 cos^2 xsin^2 x = limx 0 x^2 cos^2 xsin^2 x
Perceba que temos multiplicado por .

Passo 4

Sabemos de um limite fundamental que (sin xx)^2 approx 1 Rightarrow sin^2 xx^2 approx 1 . Isso significa que quando está próximo de 0. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto, .

Passo 5

Além disso, sabemos que . Como estamos calculando o limite quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, .

Passo 6

Agora, juntando tudo:
limx 0 x^2 cos^2 xsin^2 x approx 1 times 11 = 1
Portanto, o limite vale 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

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