Calcular as integrais usando as substituições indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral definida de de 0 a 4, usando a substituição . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como mudar as variáveis e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos calcular o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Com a substituição, nossa integral original fica assim:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando :
E quando :
Então, os novos limites são de 0 a 2.

Passo 4

A integral agora é:
Para resolver essa integral, vamos simplificar a fração. Podemos dividir por :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
A segunda integral envolve o logaritmo natural:

Passo 6

Subtraindo os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
(a) ;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
;