Calcular as integrais usando as substituições indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral definida de de 0 a 4, usando a substituição . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como mudar as variáveis e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: dx = 2t , dt . Isso significa que . Agora, precisamos calcular o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Com a substituição, nossa integral original fica assim:
integral0^4 dx1+raizx = integraltinicial^tfinal 2t , dt1 + t
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando t = raiz0 = 0 :
t = raiz4 = 2
E quando :
Então, os novos limites são de 0 a 2.

Passo 4

A integral agora é:
integral0^2 2t1 + t , dt
Para resolver essa integral, vamos simplificar a fração. Podemos dividir 2t1 + t = 2 - 21 + t por integral0^2 (2 - 21 + t) dt :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^2 2 , dt - integral0^2 21 + t , dt
A primeira integral é simples:
2t |0^2 = 2(2) - 2(0) = 4
A segunda integral envolve o logaritmo natural:
2 ln|1 + t| |0^2 = 2 ln(3) - 2 ln(1) = 2 ln(3)

Passo 6

Subtraindo os resultados das duas integrais:
4 - 2 ln(3)

Resposta

A integral vale .

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