Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para transformar a integral usando a substituição . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com substituição para facilitar a integração. Para resolver isso, vamos precisar alterar as variáveis da integral e ajustar os limites de integração de acordo com a substituição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos realizar a substituição proposta: . Com essa substituição, queremos expressar tudo em termos de .

Passo 3

Precisamos encontrar em termos de . Diferenciando em relação a , temos:
Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 4

Agora, vamos trocar as variáveis na integral original. A integral se transforma em termos de :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição .
Quando :
Quando :
Portanto, os novos limites de integração são de a .

Passo 6

Agora, substituímos os limites na nossa integral ajustada:
A integral de é , então:

Passo 7

Agora, calculamos os valores nos limites:
Simplificando:
Então:

Passo 8

Calculando os termos dentro dos parênteses:
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

(a) ;
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
;