Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para transformar a integral usando a substituição . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com substituição para facilitar a integração. Para resolver isso, vamos precisar alterar as variáveis da integral e ajustar os limites de integração de acordo com a substituição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos realizar a substituição proposta: . Com essa substituição, queremos expressar tudo em termos de .

Passo 3

Precisamos encontrar dx = 2 , dt em termos de . Diferenciando em relação a , temos:
Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 4

Agora, vamos trocar as variáveis na integral original. A integral integral raiz(2t - 1) + 1 cdot 2 , dt = integral raiz2t cdot 2 , dt se transforma em termos de raiz2t = raiz2 cdot raizt :
2 cdot raiz2 integral raizt , dt
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição 0 = 2t - 1 Rightarrow t = 12 .
Quando 3 = 2t - 1 Rightarrow t = 2 :
Quando :
Portanto, os novos limites de integração são de a .

Passo 6

Agora, substituímos os limites na nossa integral ajustada:
2 cdot raiz2 integral12^2 raizt , dt
A integral de 2 cdot raiz2 cdot [ 23 t^32 ]12^2 = 4 raiz23 ( t^32 |12^2 ) é , então:

Passo 7

Agora, calculamos os valores nos limites:
4 raiz23 ( 2^32 - ( 12 )^32 )
Simplificando:
2^32 = 2 cdot raiz2, ( 12 )^32 = 12 cdot raiz2
Então:
4 raiz23 ( 2 raiz2 - 12 raiz2 ) = 4 raiz23 ( 4 raiz22 - 12 raiz2 )

Passo 8

Calculando os termos dentro dos parênteses:
2 raiz2 = 2 raiz2, 12 raiz2 = raiz24
Portanto:
4 raiz23 ( 2 raiz2 - raiz24 ) = 4 raiz23 cdot 7 raiz24 = 4 raiz2 cdot 7 raiz212 = 28 cdot 212 = 5612 = 143

Resposta

O valor da integral é .

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