Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x d xe^x;

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x , dxe^x usando a técnica de integração por partes. Esse método faz parte do cálculo integral e é útil quando conseguimos decompor uma integral em partes mais simples. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na integral que irão representar e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação da integração por partes:
integral x , dxe^x = integral x e^-x , dx
Aqui, reconhecemos que é o mesmo que .

Passo 3

Agora, vamos identificar integral u , dv = uv - integral v , du e u = x Rightarrow du = dx para aplicar a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = integral e^-x , dx = -e^-x
Escolhemos:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-x , dx = uv - integral v , du
= x (-e^-x) - integral (-e^-x) , dx
= -x e^-x + integral e^-x , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante:
integral e^-x , dx = -e^-x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
- x e^-x + (-e^-x) + C = -x e^-x - e^-x + C
Podemos fatorar - e^-x (x + 1) + C :

Resposta

A integral é igual a:
- e^-x (x + 1) + C

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