(a) integral x^2 d xraiz1-x^2;

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração que envolve funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Assim, e .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral sin^2 theta cdot cos theta , dthetacos theta = integral sin^2 theta , dtheta
Agora a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Para integrar sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta - 12 integral cos(2theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Integrando termo a termo:
12 theta - 14 sin(2theta) + C
Agora precisamos voltar para a variável original .

Passo 6

Lembrando que , então e .

Passo 7

Substituindo de volta, a solução fica:
12 arcsin x - 14 cdot 2x raiz1 - x^2 + C = 12 arcsin x - 12 x raiz1 - x^2 + C

Resposta

12 arcsin x - 12 x raiz1 - x^2 + C

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