Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral(x^2+5 x+6) cos (2 x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u , v - integral v , du usando a técnica de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui onde temos um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica . Para aplicar essa técnica, vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u = x^2+5x+6 Rightarrow du = (2x +5) , dx e dv = cos(2x) , dx Rightarrow v = 12sin(2x) . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivamos, e como o restante. Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral(x^2+5x+6) cos (2x) , dx = u , v - integral v , du
= (x^2+5x+6) cdot 12sin(2x) - integral 12sin(2x) cdot (2x +5) , dx
= 12(x^2+5x+6)sin(2x) - 12 integral (2x +5) sin(2x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = 2x +5 Rightarrow du = 2 , dx . Vamos aplicar integração por partes novamente nessa integral. Escolhemos:
dv = sin(2x) , dx Rightarrow v = -12cos(2x)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral (2x +5) sin(2x) , dx = u , v - integral v , du
= (2x +5) cdot (-12cos(2x)) - integral (-12cos(2x)) cdot 2 , dx
= -12(2x +5)cos(2x) + integral cos(2x) , dx
= -12(2x +5)cos(2x) + 12sin(2x) + C

Passo 6

Agora, substituímos o resultado dessa última integral de volta na nossa expressão anterior:
integral(x^2+5x+6) cos (2x) , dx = 12(x^2+5x+6)sin(2x) - 12 [ -12(2x +5)cos(2x) + 12sin(2x) ] + C
= 12(x^2+5x+6)sin(2x) + 14(2x +5)cos(2x) - 14sin(2x) + C

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
= 12(x^2+5x+6)sin(2x) + 14(2x +5)cos(2x) - 14sin(2x) + C
= (x^2+5x+62 - 14)sin(2x) + 2x +54cos(2x) + C
= 2(x^2+5x+6) -14sin(2x) + 2x +54cos(2x) + C
= 2x^2+10x+12 -14sin(2x) + 2x +54cos(2x) + C
= 2x^2+10x+114sin(2x) + 2x +54cos(2x) + C

Resposta

A integral 2x^2+10x+114sin(2x) + 2x +54cos(2x) + C é igual a:

Exercícios relacionados