Calcular as integrais usando as substituições indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a integral
integral3^29 (x-2)^2 / 3 , dx(x-2)^2 / 3 + 3
usando a substituição indicada onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir variáveis e como ajustar os limites de integração quando fazemos essa troca.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: x = z^3 + 2 . Isso significa que:
dxdz = 3z^2 Rightarrow dx = 3z^2 , dz
Agora, precisamos encontrar em termos de . Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Com a substituição feita, vamos também alterar os limites de integração. Originalmente, os limites são de 3 - 2 = z^3 Rightarrow z^3 = 1 Rightarrow z = 1 a 29 - 2 = z^3 Rightarrow z^3 = 27 Rightarrow z = 3 . Vamos encontrar os novos limites para :
Para :
Para :
Então, os novos limites de integração para são de 1 a 3.

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral3^29 (x-2)^2 / 3 , dx(x-2)^2 / 3 + 3 = integral1^3 (z^3)^2 / 3 cdot 3z^2 , dz(z^3)^2 / 3 + 3
Simplificando (z^3)^2 / 3 = z^2 :
integral1^3 z^2 cdot 3z^2 , dzz^2 + 3 = 3 integral1^3 z^4 , dzz^2 + 3
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos dividir z^4 ÷ (z^2 + 3) = z^2 - 3 + 9z^2 + 3 por 3 integral1^3 ( z^2 - 3 + 9z^2 + 3 ) dz :
Primeiro, fazemos a divisão polinomial:
3 ( integral1^3 z^2 , dz - 3 integral1^3 dz + 9 integral1^3 1z^2 + 3 , dz )
Então, a integral se torna:
Podemos separar isso em três integrais:

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
integral z^2 , dz = z^33 + C
  1. Segunda integral:
integral dz = z + C
  1. Terceira integral:
Para integrar integral 1z^2 + 3 , dz = 1raiz3 tan^-1( zraiz3 ) + C , reconhecemos que a integral de é . Aqui, , então:

Passo 7

Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão original:
3 ( [ z^33 ]1^3 - 3 [ z ]1^3 + 9 [ 1raiz3 tan^-1( zraiz3 ) ]1^3 )
Vamos calcular cada termo nos limites de 1 a 3.
  1. Primeiro termo:
[ z^33 ]1^3 = 3^33 - 1^33 = 273 - 13 = 9 - 13 = 263
  1. Segundo termo:
-3 [ z ]1^3 = -3(3 - 1) = -3(2) = -6
  1. Terceiro termo:
9 [ 1raiz3 tan^-1( zraiz3 ) ]1^3 = 9raiz3 ( tan^-1( 3raiz3 ) - tan^-1( 1raiz3 ) )
Simplificando:
9raiz3 = 3raiz3
E sabemos que:
tan^-1( 3raiz3 ) = tan^-1(raiz3) = pi3
tan^-1( 1raiz3 ) = pi6
Então:
3raiz3 ( pi3 - pi6 ) = 3raiz3 ( pi6 ) = 3raiz3pi6 = raiz3pi2

Resposta

Somando todos os termos:
3 ( 263 - 6 + raiz3pi2 ) = 26 - 18 + 3raiz3pi2 = 8 + 3raiz3pi2
Então, a resposta final é:
8 + 3raiz3pi2

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