Calcular as integrais usando as substituições indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a integral
usando a substituição indicada onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir variáveis e como ajustar os limites de integração quando fazemos essa troca.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar em termos de . Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Com a substituição feita, vamos também alterar os limites de integração. Originalmente, os limites são de a . Vamos encontrar os novos limites para :
Para :
Para :
Então, os novos limites de integração para são de 1 a 3.

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos dividir por :
Primeiro, fazemos a divisão polinomial:
Então, a integral se torna:
Podemos separar isso em três integrais:

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
  1. Terceira integral:
Para integrar , reconhecemos que a integral de é . Aqui, , então:

Passo 7

Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão original:
Vamos calcular cada termo nos limites de 1 a 3.
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Simplificando:
E sabemos que:
Então:

Resposta

Somando todos os termos:
Então, a resposta final é:

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Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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