Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a integral
usando a substituição indicada onde
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir variáveis e como ajustar os limites de integração quando fazemos essa troca.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Com a substituição feita, vamos também alterar os limites de integração. Originalmente, os limites são de
a
. Vamos encontrar os novos limites para
:
Para
:
Para
:
Então, os novos limites de integração para
são de 1 a 3.
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos dividir
por
:
Primeiro, fazemos a divisão polinomial:
Então, a integral se torna:
Podemos separar isso em três integrais:
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
- Terceira integral:
Para integrar
, reconhecemos que a integral de
é
. Aqui,
, então:
Passo 7
Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão original:
Vamos calcular cada termo nos limites de 1 a 3.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Simplificando:
E sabemos que:
Então:
Resposta
Somando todos os termos:
Então, a resposta final é:
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Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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