Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral raizx^2+1 d xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma expressão envolvendo . A substituição trigonométrica é útil aqui porque nos ajuda a lidar com expressões que têm a forma . Nesse caso, podemos usar a substituição . Como temos , vamos considerar , então .

Passo 3

Com a substituição dx = sec^2theta , dtheta , precisamos também expressar raiztan^2theta + 1 = raizsec^2theta = sectheta em termos de . Derivando ambos os lados, temos:
Além disso, a expressão se torna:

Passo 4

Agora, substituímos integral raizx^2+1 , dxx = integral sectheta cdot sec^2theta , dthetatantheta e integral sec^3thetatantheta , dtheta na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Sabemos que integral 1cos^3thetasinthetacostheta , dtheta = integral 1cos^2theta sintheta , dtheta e integral sec^2thetasintheta , dtheta . Então, podemos reescrever a integral:
Isso é igual a:

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja integral sec^2thetasintheta , dtheta = integral 1u^2 cdot (-du) , então - integral 1u^2 , du . Reorganizando, temos .
A integral se torna:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando, temos:
- integral u^-2 , du = - ( -u^-1 ) + C = 1u + C
Lembrando que 1costheta + C = sectheta + C , substituímos de volta:

Passo 8

Agora, precisamos expressar sectheta = raiz1 + tan^2theta = raiz1 + x^2 em termos de raizx^2 + 1 + C . Lembre-se que usamos a substituição , então:
Portanto, a integral se torna:

Resposta

integral raizx^2+1 , dxx = raizx^2 + 1 + C

Exercícios relacionados