Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma expressão envolvendo
. A substituição trigonométrica é útil aqui porque nos ajuda a lidar com expressões que têm a forma
. Nesse caso, podemos usar a substituição
. Como temos
, vamos considerar
, então
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos também expressar
em termos de
. Derivando ambos os lados, temos:
Além disso, a expressão
se torna:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Sabemos que
e
. Então, podemos reescrever a integral:
Isso é igual a:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja
, então
. Reorganizando, temos
.
A integral se torna:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando, temos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Lembre-se que usamos a substituição
, então:
Portanto, a integral se torna:
Resposta
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Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
parábola e reta
;
parábola
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Calcular as integrais usando as substituições indicadas: