Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma expressão envolvendo . A substituição trigonométrica é útil aqui porque nos ajuda a lidar com expressões que têm a forma . Nesse caso, podemos usar a substituição . Como temos , vamos considerar , então .

Passo 3

Com a substituição , precisamos também expressar em termos de . Derivando ambos os lados, temos:
Além disso, a expressão se torna:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Sabemos que e . Então, podemos reescrever a integral:
Isso é igual a:

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja , então . Reorganizando, temos .
A integral se torna:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando, temos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Agora, precisamos expressar em termos de . Lembre-se que usamos a substituição , então:
Portanto, a integral se torna:

Resposta

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Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
parábola e reta ;
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Calcular as integrais usando as substituições indicadas: